Una vez que hemos aprendido a encontrar en común factor usando números, vamos a practicar un poco como obtener el común factor usando literales (letras). 

Para encontrar la literal (letra) común, hay que observar cual es común a cada uno de los términos y escoger la que tenga el exponente mas chico. Por ejemplo, si tenemos x⁴ + x², de estos dos términos el que tiene el exponente más chico es el x², esa va a ser la literal común. 

Si un término tiene más de una literal con exponentes diferentes se aplica el mismo procedimiento con cada literal.

Ejemplo x⁶y³ + x² + y⁷ – x³y³, en este caso la literal “x” con el exponente más chico es x² y la literal “y” con el exponente más chico es y³, al final los literales comunes son x²y³.

En seguida se presentan tres ejercicios para identificar las literales comunes: (No hay que sumar o restar, solo buscar las literales comunes)

1. m⁶n³, m⁸n², m⁵n⁷, m³n⁶
2. x²y⁵z⁹, x⁵y¹²z¹¹, x³y³z⁸
3. a¹⁵b³, a³b, a⁵b⁶, a²b⁷

 Respuestas, literal común.

1. m³n²
2. x²y³z⁸
3. a²b

El siguiente paso es aprender a buscar el “máximo común factor” y para esto se combinan el común factor y las literales comunes, en otras palabras, vamos a combinar números y letras. 

Ejemplo I

6x² + 15x

PASO I 

Identifica el común factor   (2)(3) = 6    y  (3)(5) = 15,  el común factor es 3

PASO II 

Identifica la literal común, ósea la letra que tiene el exponente más chico y es la “x” 

PASO III 

Escribe los factores comunes  (el 3 y la “x”) fuera del paréntesis y los restantes  (los números que sobran del PASO I, que son el 2 y 5) dentro del paréntesis expresando multiplicación de términos  3x (2x + 5)

IMPORTANTE: Para determinar que literal (letra) va dentro del paréntesis, hay que restar el exponente de la literal con la literal común

x^{2 – 1 = 1} 

También se pude obtener dividiendo, como se explica mas abajo.

PASO IV 

Para comprobar se multiplica y se debe obtener las expresión inicial.                                          

3x (2x + 5)  

6x² + 15x

EJEMPLO II

45m⁵n³ – 10 m²n 

PASO I 

Identificar el común factor, (3)(3)(5) = 45 y (2)(5) = 10. El común factor es 5

PASO II Identificar la literal común (letras que tienen el exponente más chico) m²n

PASO III 

Escribir el común factor y la literal común fuera del paréntesis. Dentro del paréntesis se escriben los términos restantes respetando los signos de multiplicación.

5m²n (9m³n² – 2)

IMPORTANTE: para determinar que exponente van a llevar las literales dentro del paréntesis, solo se restan los exponentes de la expresión original con los exponentes de la literal común que no es otra cosa que la división.

m^{5 – 2} n^{3 – 1} 

m³n².

Solo un repaso, se resta porque si recuerdas, en la multiplicación de términos, al multiplicar se suman sus exponentes y factorizar es lo contrario a multiplicar, ósea dividir.

También puedes dividir la expresión original entre el máximo común factor y nos quedaría así.  

                                             

La respuesta anterior es la que va dentro del paréntesis y el máximo común divisor fuera 5m²n (9m³n² – 2)

Pasos para la división:

(Hay que dividir la expresión que queremos factorizar entre el máximo común divisor  45m⁵n³ ÷ 5m²n)

1. Se divide el signo usando la misma regla de multiplicación de signos (+ • + = +)
2. Se dividen los coeficientes -números- (45 ÷ 5 = 9)
3. Se dividen las literales (letra) (OJO) al dividir incognitas se restan sus exponentes m^{5-2 =3} = m³  y n^{3-1 =2} = n² 
4. Por último para dividir  (– 10 m²n ÷ 5m²n) se repiten los mismos pasos. Solo al final, al dividir las literales, como tienen el mismo exponente, se eliminan y no se escribe ninguna literal, solo el  –2.

Ejemplo II

4a²b³ – 6a³b² + 8a⁴b

PASO I 

Obtener el común factor (2)(2) = 4, (2)(3) = 6, (2)(4)= 8. El común factor es 2

PASO II 

Identificar la literal común y es a²b

PASO III

Escribe el común factor y la literal común fuera del paréntesis y el resto dentro del paréntesis  2a²b (2b² – 3ab + 4a²) Si se te dificulta obtener los términos que van dentro del paréntesis, también puedes dividir la expresión original entre el máximo común factor o simplemente resta los exponentes del ejercicio original con la literal común. El otro método es dividir.

                                              

PASO IV 

Comprueba tu respuesta multiplicando.

a²b (2ab² – 3ab + 4a²b)

EJERCICIOS DE PRACTICA

1. 42x² + 30x
2. 15m² + 6m
3. 40y² + 35y
4. 10x² + 40x
5. 18z² + 4z
6. 12x⁷y² + 24x⁵y⁵
7. 45m⁴n² – 10mn⁶
8. 36d⁴h⁵ + 15dh²
9. 8m⁶n²p – 36mn³p⁵
10. 44x⁵y⁷z + 11x²y³z⁴

RESPUESTAS

1. 6x (7x+5)
2. 3m (5m +2)
3. 5y (8y + 7)
4. 5x (2x + 8)
5. 2z (9z + 2)
6. 6x⁵y² (2x² + 4y³)
7. 5mn² (9m³  – 2n⁴)
8. 3dh² (12d³h³ + 5)
9. 4mn²p (2m⁵ – 9np⁴)
10. 11x²y³z (4x³y⁴ + z³)